SIMPLE CURVES ON TORI 1 Content - Length : 21789 X - Lines : 501 Status : ROSimple curves on hyperbolic toriBy

Let T be a once punctured torus, equipped with a complete hyperbolic metric. Herein, we describe a new approach to the study of the set S of all simple geodesics on T: We introduce a valuation on the homology H 1 (T; ZZ); which associates to each homology class h the length`(h) of the unique simple geodesic homologous to h; and show thatèxtends to a norm on H 1 (T; R): We analyze the boundary of the unit ball B(`) and the variation of the area of B(`) over the moduli space of T. These results are applied to obtain sharp asymptotic estimates on the number of simple geodesics of length less than L. Courbes simples dans les tores R esum e. Soit T un tore trou e, muni d'une m etrique hyperbolique com-pl ete, d'aire nie. Nous pr esentons une nouvelle approche de l' etude de l'ensemble S de toutes les g eod esiques ferm ees simples (sans points doubles) de T. Nous introduisons une application sur l'homologie H 1 (T; ZZ), qui associe a chaque classe h 2 H 1 (T; ZZ) indivisible la longueur`(h) de l'unique g eod esique simple homologue a h: et nous d emontrons què s' etend en une norme sur H 1 (T; R): Nous etudions la g eom etrie de la sph ere @B(`) et la variation de l'aire de B(`)(T) sur l'espace de modules. On utilise ces r esultats pour donner des estimations asymptotiques du nombre de g eod esiques ferm ees simples de longueur inf erieure a L. Version francaise abr eg ee Soit T un tore trou e, muni d'une m etrique hyperbolique compl ete d'aire nie. Dans cet article nous d ecrivons une m eth-ode pour etudier l'ensemble S des lacets g eod esiques simples sur T: L'ensemble S est un objet assez int eressant (v. ?] pour des applications arithm etiques). Soit S une surface hyperbolique ferm ee, ou avec un seul cusp. Une multi-courbe m sur S est une application continue d'une vari et e de dimension 1 dans S: La longueur d'une multi-courbe est d eenie comme la somme des longueurs The authors would like to thank Peter Sarnak for continued encouragement. 2 GREG MCSHANE AND IGOR RIVIN des images de composantes connexes de M: Nous dirons que m est plong ee lorsque l'image de m est une r eunion disjointe de lacets simples { …